Ma trận giao hoán

Ma trận giao hoán

Bài toán:
1) Tìm tất cả các ma trận vuông thực cấp 3×3 giao hoán với ma trận

2) Với n là một số nguyên dương. Giải phương trình sau trong M3(R)

Xn=A

(Đề bài trích từ Kỷ yếu Olympic toán sinh viên Việt Nam 2013)

Lời giải:

1) Giả sử

là ma trận cần tìm, giao hoán với ma trận A.
Từ phương trình

AB=BA

ta suy ra

d=g=h=0,a=e=i,f=3b

Vậy ma trận B giao hoán với ma trận A sẽ có dạng

∀a,b,c∈R

2) Giả sử X là nghiệm của phương trình Xn=A.
Ta có:

AX=Xn.X=X.Xn=XA

Như vậy, X giao hoán với A.
Theo câu 1) suy ra

 a,b,c∈R

Ngoài ra, ta còn có

detXn=detA=0

Suy ra

detX=0

Từ đó, ta có

a=0

và

Khi đó

và

X3=O⇒Xk=O∀k≥3,k∈N

Kết luận:

• Với n=1 ta có X=A là một nghiệm của phương trình Xn=A.
• Với n≥2 thì ∄X∈M3(R) thoả Xn=A.