CÁC CÁCH TIẾP CẬN CHO MỘT BÀI TOÁN ĐẸP.

CÁC CÁCH TIẾP CẬN CHO MỘT BÀI TOÁN ĐẸP
                  (bài này được lấy trên blog của anh võ văn đức)
http://muaphun123.blogspot.com/2013/07/ba-huong-tiep-can-cho-mot-bai-toan-ep.html

Đề bài: Cho các ma trận 


M∈M3×2(R), N∈M2×3(R) thỏa

  

 Tìm NM                                                                                                                          

Lời giải: 
        
 Đây là bài toán mà tôi đã tiếp cận từ năm 2011. Qua thời gian tôi đã được tiếp cận bài này với ba hướng khác nhau. Tôi đã đăng các bài toán này và các lời giải trên Diendantoanhoc.net và nay đăng lại trên blog này để lưu giữ một bài toán đẹp, một kỷ niệm của tôi.


Hướng  tiếp cận thứ nhất theo nhận xét rằng ma trận NM khả nghịch.

Ta dể dàng tính được rằng

                                                (MN)2=9(MN)

                                               rank(MN)=2

Ta có:

           2=rank(MN)=rank(19(MN)2)=rank(MNMN≤rank(NM)

Mà NM∈M2(K) nên rank(NM)=2

Suy ra NM khả nghịch.

Mặt khác ta lại có:

(NM)2=NMNM=N.19(MN)2.M=19(NM)3

Suy ra NM=9I2 vì NMkhả nghịch.

Hướng tiếp cận thứ hai theo đa thức tối thiểu.

Dể dàng kiểm tra được rằng (AB)2=9(AB)

Ta có thể viết:

(BA)3=B.(AB)2.A=9B(AB)A=9(BA)2

Suy ra (BA)2(BA−9I2)=O

Nếu f là đa thức tối thiểu của BA thì f là ước của x2(x−9) và Deg(f)≤2.

(1) Nếu f=x thì BA=O suy ra AB=O vì O=A(BA)B=(AB)2=9AB, điều này vô lý.

(2) Nếu f=x2 thì (BA)2=O kéo theo Tr(AB)=Tr(BA)=0, vô lý

(3) Nếu f=x(x−9) thì Tr(AB)=Tr(BA)=9, vô lý.

(4) Nếu f=x−9 ta có BA−9I2=O. Vậy BA=9I2. Đây là kết quả mong muốn.

Hướng tiếp cận thứ 3 là phân tích theo ma trận khối.

Ta viết M, N dưới dạng ma trận khối.

M=(XY) và N=(UV)

Trong đó X∈M1×2(R),Y∈M2×2(R),U∈M2×1(R),V∈M2×2(R)

ta co                                                                                                                                                        

                                                                                                                                                                                                              NM=(UX+VY)=UX+VY

Nhận xét rằng YU.XV=(4−4−44)

Suy ra

YV+YUXV=9I2⇔Y(I2+UX)V=9I2

Từ đây ta suy ra Y,V khả nghịch và

((I2+UX)V).Y=9I2⇔VY+UXVY=9I2

Mặt khác ta cũng có nhận xét rằng YU.YV.XV=(4−4−44)

Suy ra               YUYVXV=YUXV

Vì Y,V khả nghịch nên ta suy ra   UYVX=UX

Vậy NM=UX+VY=UXVY+VY=9I2

............................................

Cũng với ba hướng tiếp cận như trên ta có một số bài tập cho các bạn tham khảo.

Bài 1: Cho A là ma trận thực cấp 3×2 và B là ma trận thực cấp 2×3 thỏa mãn

a) Chứng minh rằng ma trận BA khả nghịch.

b) Tìm ma trận BA.

(ĐH Ngoại Thương - Hà Nội 2013)

Bài 2: Cho A∈M3×4(R),B∈M4×2(R),C∈M2×3(R) thỏa

Tính CAB và từ đó suy ra (BCA)2=BCA

Bài 3: Cho A là ma trận thực cấp 4×2 và B là ma trận thực cấp 2×4 thỏa mãn

trong đó a,b là các số thực khác không. Xác định BA.

(CĐ Sư phạm Hà Nội 2012)